在讲最小二乘之前我们先普及一下插值和拟合的含义
插值与拟合
数值分析中，有两大利器在工程实际的数据处理中有着很重要的地位，它们就是插值和拟合。
插值指的是对于已知的离散序列，使用同时过这个序列中的点的函数将其中间间隔的部分填充满，使任意一个点都有数值与其对应。
最常见的一种应用就是，在图像处理领域中，对图像进行线性变换（如放缩、旋转、仿射变换或透视变换等）后，原来对应整数坐标上的像素点可能在新的图像中处于非整数坐标，若想要构建变换后的图像，就需要依据这些已知像素还原出整数坐标上的未知像素，这里就用到了插值。
插值使用经过已知序列得函数填充中间部分
同样是已知序列，若想要求得一个函数，能够最接近地表达出这个序列，但是不要求这个函数经过这个序列中的任一个点，这种方法就称作拟合。
拟合也有着重要得工程价值，在神经网络、系统辨识等领域均有应用。
下图展示了欠拟合、比较好的拟合和过拟合三种情况
拟合使用不一定经过已知序列的函数表达已知序列
最小二乘的原理
最小二乘法是一种很常用的拟合手段。上面提到了，拟合是寻找一个函数，能够最接近地表达出这个序列，最小二乘算法对这个最接近地下了一个定义，即均方误差最小。
通过数学表达就是这个ε最小
想要进行最小二乘，就先要知道想要拟合的目标函数是怎样的。对于一个有n个未知参数，n个自变量的函数f（这个函数应该是n个自变量对于n个未知参数的线性组合），我们进行n阶最小二乘，这时我们的序列数据也应该是n维的（若小于n维，则应该根据拟合函数中变量的变化方法对其进行变化）
对非线性函数这样线性化
这样一来，我们能够用矩阵方便的表示这个不存在的方程
X是序列中m个n维点组成的矩阵，其中m应该大于n，否则方程可解或多解，也就没有拟合的必要了；
β是n维线性函数f的系数矩阵；
y是m个n维点对应的纵坐标；
三者满足关系：
通过这个方程求出β即求出拟合函数就是我们的目标，但由于m>n，显然这个方程无解，我们根据最小二乘的条件均方误差最小，将等式相等换为一个要求更小的约束，即在β变化时，ε(β)取最小值。这样我们就将最小二乘法化简为一个求多元函数极值点的问题。
高中数学我们就学过，一个函数极值一定出现在导数为0的情况下，我们对ε(β)求导使其等于0，得到：
这个β_hat代表对β的最佳估计（观测）值。
从另一个角度理解最小二乘
我们回到得到一个无解的矩阵方程这一步：
无解，则代表着没有一组对于X向量组的线性组合能够表示y向量，本质上是由于y向量不在X矩阵的列空间中。但是，如果选择一个y’，使其是y在X矩阵列空间的投影，这样Xβ = y’就有解，我们也许就能最近似地“求出”这个方程组的解。利用向量投影的法则，我们得到了和上面方法同样的结果：
数学真的很神奇！
从 最小二乘 到 最优化（Optimal）算法
最优化算法是什么？最简单的理解，就是通过改变方法与参数，使得某个特定的代价函数（cost function）取地最小值（即代价最小），这样确定的参数，就是最优化系统中的最优解。
最小二乘拟合的过程，也可以看作一个最优化问题，这个过程的代价函数就是ε(β)。类比推出，求取最优解的一个思路就是对代价函数求导，在其导数等于0的位置，就是代价函数的极值点，也就是可能的最优解。
对于带有约束的问题，使用拉格朗日乘子法来解决
拉格朗日乘子法本质上就是是：在满足约束条件时梯度相等的位置就是最优解。如下图：
最优化问题是一个很深奥、很复杂的问题，但是从最小二乘切入来理解，也是一个不错的思路