在之前的文章（现代控制理论总结1——Linear部分）中曾经提到过观测器。
观测器可以这样理解：
使用软件构建一个虚拟的系统，使这个系统与实际系统同步更新，并根据给予的输入与传感器测得的输出不断更新、纠正这个虚拟系统，使得系统的状态变量趋近于实际系统，这样我们就能够获得一些测不到的状态变量，来进行状态反馈。
而卡尔曼滤波器则通过对系统噪声（高斯分布噪声）建立模型，在更新系统状态的同时也在更新系统的方差，也可以看作是同时更新系统的均值与方差，同时考虑状态更新方差与测量方差，得到一个卡尔曼增益K，这个卡尔曼增益则对应着观测器中的观测增益L。使用每次后验的均值作为结果，来不断更新系统。
我们来进一步，仔细地看一看Kalman Filter是如何工作的。
卡尔曼滤波KF
首先要注意，卡尔曼滤波器只适用于线性系统，并且噪声应为高斯分布的系统。
既然是一个线性系统，那么我们就可以使用状态方程与测量方程（对于离散系统，使用差分方程）来表示这个系统:
通过以下方程更新一个虚拟系统：
其中参数的含义：
我们先使用上一时刻估计得到的状态变量，通过一个完全理想化的系统（不一定完全准确），得到本时刻先验的状态变量；
使用同样的系统更新本时刻协方差矩阵的先验，注意由于每次更新都使用了不准确的更新方程，我们要将这个不确定性考虑进去，所以每次都要引入系统更新带来的噪声的协方差；
由于使用的是理想的系统，没有考虑系统误差、扰动带来的影响，这样的开环观测器一定是无法准确观测的。
接着使用测量方程，通过先验的状态变量得到先验的测量量；
同理，使用相同的测量方程得到测量量的协方差，这里同样也要引入一个由于每次测量不准确噪声的协方差；
使用状态量协方差与测量量协方差计算卡尔曼增益；
使用卡尔曼增益作为权重，权衡测量量与先验状态量，来更新本时刻的后验状态量。
至此，一次迭代就完成了，让这个虚拟系统运行下去，就能使估计值趋向于真实值。
卡尔曼滤波器主要需要调整的参数使Q、R两个协方差矩阵的值，而其他的值都会在迭代中收敛，如何整定Q、R参数呢？
我们知道Q、R代表着系统更新引入噪声的协方差与测量引入噪声的协方差，我们很容易想到，Q越大，我们就会越“相信”（“相信”体现在卡尔曼增益上）测量，滤波器收敛变快，但由于测量带来的噪声也随之增大；而R越大我们则越“相信”系统更新，结果更加平滑但收敛变慢。通常我们忽略各个状态变量之间、测量量之间的影响，认为它们使无关的，这样得到的Q、R阵都是对角阵，更方便我们去调参。
何时该使用卡尔曼滤波器？
当系统方程比较清晰，并且单独使用传感器误差难以接受的情况下，使用系统方程辅助获得数据也是一种弥补的方法。
与此同时，卡尔曼滤波不仅能够对传感器数据进行平滑，还能够得到完整的状态向量，这意味着我们能够通过一个单独的位置传感器得到速度，加速度等等，这样我们就能对目标进行预测，Robomaster比赛中的视觉目标跟踪，射击预瞄提前量利用的就是这样的原理。
扩展卡尔曼滤波EKF
上面提到的最基本的卡尔曼滤波仅适用于线性系统，假设有非线性系统如下，我们该如何处理呢？
最简单粗暴的方法就是线性化。
如何线性化一个非线性系统，在扩展卡尔曼滤波中，我们使用非线性函数的一阶偏导矩阵来代替线性的系数矩阵，这样来更新那一组方程就可以啦！
具体怎么做呢？请看下面的式子：
这组方程与上面的有什么区别呢？细心的小伙伴可能发现了，我们合情合理地将先验更新的方程替换为了非线性形式，其他好像都没有改变。但是对于一个非线性系统，我们如何确定这个A矩阵与H矩阵呢？答案上文已经提到了，就是使用（该点处的）一阶偏导矩阵对非线性系统进行一阶线性近似（相当于只取f、h泰勒展开一次项的系数），这个一阶偏导矩阵也就是大名鼎鼎的雅可比矩阵：
注意到A一定还是一个nxn的方阵，H的阶数也没有改变（仍取决于状态变量个数与测量量个数）
其他步骤均与上面提到的一致。
无迹卡尔曼滤波UKF
在实际应用中，对于非线性程度比较大的系统，一阶近似往往效果不是很理想，聪明的人们又想到了一种方法来解决非线性系统的卡尔曼滤波，无迹卡尔曼滤波就这样诞生了。
无迹卡尔曼滤波的本质同它的两个兄弟一样，也是通过协方差从概率角度计算卡尔曼增益K进行迭代的，不同的是，不是像线性系统那样仅根据迭代就能计算出协方差，而是在均值周围取sigma点，让这些点真正的去参与系统运算，再使用这几个sigma点的协方差参与运算，进行迭代。
这些sigma点的个数与位置的选择也是有要求滴！
再升级该怎么办？
再升级？再升级就是粒子滤波啦！相当于有更多的sigma点来还原系统，效果当然也更好，就是计算量更大了。
粒子滤波是什么？看这儿：particle filtering—粒子滤波（讲的很通俗易懂）
总结一下
这篇文章带大家十分粗略的了解了三种卡尔曼滤波的形式，其中少了许多数学推导部分，尤其是概率相关的数学推导，这些部分我不是很熟悉，仅能通过定性的方式去说，如果想要了解本质，大家可以看这篇文章：Kalman_Intro。
最后用一张图总结：