从刚上大学开始，积分变换就无时无刻地萦绕在我们身旁，什么傅里叶变换。拉普拉斯变换，甚至小波变换等等。
这些变换有什么意义？他们又是怎样实现的呢？这次我们多花点时间来理一理。
积分变换即基变换
就如同线性代数所说那样，空间中任意一个向量都可由一组完备（个数充满R^n）的正交的基的线性组合来表示。
如果把一个函数（信号）看作这个任意的向量（属于R^∞空间），那么这个函数也可以由R^∞空间下的一系列正交的基（也是函数、信号）来表示，这就是信号的基变换，也就是我们说的积分变换。这组正交基的选择，就是积分变换产生区别的地方，如何选择一组好用的基就成了我们要动脑筋的地方。
傅里叶、拉普拉斯等人选择到了一系列合适的正交基函数，使得进行基变换后表示的函数有着很好的性质（比如能量集中、方便微积分运算等等），于是成为了一系列经典的积分变换。由此我们看出，积分变换即基变换。
我们以傅里叶变换为例来进行研究
连续周期信号的变换
对于连续周期信号，傅里叶选择用一组正交函数基来表示他们，可以获得由时域转移到频域的优秀性质。这组基就是三角函数集（也可以用复指数集来表示）
这样我们可以得到一组长度为无穷的级数，就是傅里叶级数。
注意到这里选择的基函数的频率为nω0，也就是原周期信号的整数倍，也就是说连续周期信号的频谱是离散的。
傅里叶级数这样来表示：
也可以表示成复指数形式：
cn可通过基正交的性质求得：
这个cn也就是输入函数的频谱，它的实数部分代表cos值，虚部代表sin值，也可以看作表示的是幅值与相位，如图：
注！对于定义在有限区间的函数，将其进行周期延拓，也可将其看作周期信号，进行傅里叶级数展开。
看来基的选择还与原始信号有关，但当我输入一个非周期信号时，应该怎么选择这组基呢？
连续非周期信号的变换
对于非周期信号，我们可以把它看作一个周期->∞的信号，此时的ω0->0。
由于T->∞，Fn->0，不再适合描述频率特性，因此我们选择TFn = F(nω0)作为描述频率特性的函数.
这代表什么呢？这代表着非周期信号的频谱间隔很小，也就可以看作是连续的，此时nω0就退化成了ω，就与傅里叶变换如下：
同样刻画了输入信号的频率特性。
因此得到傅里叶变换与反变换
可以看出来，此时的F(ω)不再代表着频谱，而是表示频谱的密度。
也就是说，非周期函数不能表示成cos、sin的线性组合（由于系数->0），但是可以使用傅里叶变换衡量其中各个频率的成分多少。
离散非周期信号的变换
上述连续信号的傅里叶变换适用于模拟信号。随着数字控制的普及，我们如果想在一个离散的数字系统中进行傅里叶变换，必须进行离散的采样，采样可以用原信号*冲激序列来表示：
注意这个信号仍属于连续的信号，只不过他有了一个可以对应的离散序列也就是x[n]
我们当让可以对这个连续的信号进行连续的傅里叶变换：
这里交换积分号与求和号，化简可以得到：
这里的离散序列x[n]就是由与之对应的冲激序列积分得来的，有x[n] = x(nTs)
这样一来我们就得到了离散信号的傅里叶变换，但是这个信号在频域上还是连续的，没办法用在数字处理器中：
一是因为这个求和是从-∞到+∞项的求和，需要知道信号时域的全部信息，这对于实时系统是不可能实现的；
二是由于频域上这个ω是连续的，也就是得到了频域上的全部信息（由于使用了信号时域的全部信息），离散系统ω是离散的，只能使用其中的一部分信息，造成了信息的冗余。
我们既然不能利用频域的全部信息，而却要求知道信号时域的全部信息，能否做一妥协，这时离散傅里叶变换出来救场了。
离散周期信号（有限长信号周期延拓）的变换
有限的时域信息表示有限的（离散的）频域信息，我们很自然地想到了周期函数的傅里叶级数。
同理，对于一个非无限长的信号（一张图片），或者是无限长信号的一段截取（实时数字系统本时刻的前N个采样周期信号的截取），我们可以对其进行延拓，这样就得到了一个无限长的周期信号。对这个周期信号进行傅里叶展开，就可以得到离散的频域表达了：
对这个离散的周期延拓进行傅里叶展开
还是一样的计算方法，交换积分号与求和号，且有T = NTs，化简得到：
这就是N点离散傅里叶变换DFT的表达式，并且这个离散序列是以N为周期的，我们只取第一个周期即可。
其中第k个点表示的是kω0/N频率分量，其中ω0 = 1/Ts。
可以看出，这就是DTFT的离散化表示！
当然对于本来就是周期序列的信号，可以直接进行离散傅里叶级数展开DFS。
从上面的例子，我们看出，这种信息的守恒十分的美观：
时域的信息完备性体现在是否需要知道信号从出生到入死的全部（是否是周期的），而频域的信息完备性体现在频域表示是否是连续的。
或许这就是数学之美吧！！！！！
总结一下时域频域函数的对应关系：
- 时域连续->频域非周期
- 时域离散->频域周期
- 时域周期->频域离散
- 时域非周期->频域连续
是不是也很美呢？
二维离散信号（图片）的变换
待更新!