学习完了比较简单的线性部分，我们来进一步探讨非线性系统的特性！
本片所讲内容完全可以用在线性系统上，因为线性系统也算是一种特殊的非线性系统，这篇讲的是一种普适的方法！
李雅普诺夫直接方法
也叫做第二方法（第一方法是直接解微分方程）
第二方法是这样判断一个系统稳定的：
这样可以证明李雅普诺夫稳定（即有界稳定）
这样可以证明渐进稳定
可以看到，二者仅仅区别于V_dot是半正定的还是正定的。
那么这个V到底是什么呢？他是怎么来的呢？这个V将是贯穿整个非线性控制理论的一个东西。
我们把V叫做李雅普诺夫函数，这个V是自己选的，自己选择V来证明稳定，有些微妙呢（￣。。￣）
同样，我们也是要判断平衡点，即X_dot = 0 的点，一定要记住，在u = 0的情况下，稳定系统一定会收敛到平衡点上。
在加入控制量u之后，我们比较方便的能够把平衡点控制在0，所以当想要移动原来变量平衡点时，一般会转换状态变量到e或delta这样的误差变量上，最终就能达到移动原来变量平衡点的作用。
一般我们选择的V是包含需要稳定的量的，即V是e、δ……的函数V(e,δ)
V_dot = 
，其中f(x)表示x的微分的函数
通常设计的V为系统在某个维度的能量，那么就表明能量大于0，能量衰减的系统就是稳定的！
这里要注意，x=0，指的是x1、x2、全部=0，这里判断ND、NSD时要注意！
拉塞尔不变性原理
为了扩大直接方法判断渐进稳定的适用条件，引出拉塞尔不变性原理：
- 满足李雅普诺夫稳定
- 除了x = 0，没有其他轨迹能够使V_dot = 0
判断方法也很简单，直接令V_dot = 0，计算满足的轨迹，如果除了x=0外还有满足的轨迹，那么就不符合，若仅有x=0这一条，则整个系统也是渐近稳定的。
非线性控制中心思想
对于x_dot = f(x) + u这种形式，简单粗暴滴构造一个u = f(x) - kx，就可以构造出x_dot = -kx这个线性的，必定稳定的系统。我们称之为反馈线性化（Feedback Linearization），是最简单证明稳定性的方法。
但有时反馈线性化不是最佳的，我们可以通过寻找V(x)来设计u，使得V与V_dot满足PD ND的条件即可
反步法
对于二阶系统，我们常用反步法（Back Stepping）来解决控制问题。微分表达式x_dot = f(x)，代表着x的变化受到f(x)的控制，这点是我们控制x的重要思想。当二阶系统构成一个Chain of Integrator，即x2在f1中，而u又在f2中，我们就可以通过控制u来控制x2，再通过控制x2来控制x1。（设计控制器时还是用上面的中心思想来实现）
反步法则与这个顺序相反，它先设计出x2控制x1的方法，找到一个x2d，再通过设计u来控制x2->x2d，最终实现目标。
在这两步中，第二步同时包含了x1与x2，我们在设计时要同时引入两个状态变量e与δ，而第一步就仅需要一个e，因为我们把其中的x2已经当作了输入量。并且，如果这两步中有一步是线性系统，我们完全可以用线性系统的思路来设计！
下面是反步法的具体设计步骤的一个例子：
自适应控制
有时我们再设计控制器时，总是要用到一些系统的参数，但当我们很难测得这些参数时，控制器就很难设计。
于是我们引入自适应控制（Adaptive Control）用一个p_hat来测量这个参数p（前提要有p_dot = 0），不妨设p_e = p_hat - p，我们把这个p_e也当作一个状态变量，就能够使p_hat->p，最终我们在u中使用p_hat代替p来做控制即可。（这里要先设计出一个假定已知p的输入u）
将含有x与p的f看作是由两个变量组成的系统，最终用包含p_e与e的李雅普诺夫函数V()满足PD ND，同时代入已设计好的u，即可得到a_hat或a_hat_dot的式子，大功告成！
鲁棒控制
上面的自适应控制用于p_dot = 0的情况，但当p不是一个定值，在随时间变换但却有界（ρ(x)，这个界可以是与x有关的，但是在非线性部分整体也有界的情况下通常取为一个常数ρ），我们就不能使用Adaptive的方法，这时就要使用鲁棒控制器（Robust Control）
鲁棒控制器有一个通用的形式：
u = -ke + xd_dot + uaux
最常见的三种鲁棒控制器：
- Sliding Mode： uaux = ρ(x)sgn(x) （也就是大家经常听说的滑模控制器）
- High Gain： uaux = 1/(ε)ρ(x)^2 * e
- High Frequency：uaux = ρ(x)^2e/(ρ(x)abs(e) + ε)
这三个鲁棒控制器各有特点：
SMC静差为零，而其他两个控制器都有与k和ε相关的静差
HGC收敛是最快的
HFC输入是最小的
我们也能够很简单地使用直接方法证明这三种控制器的稳定性。